ディリクレ級数 (src/NumberTheory/DirichletSeries.hpp)

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Last update: 2024-10-11 11:35:48+09:00
Include: #include "src/NumberTheory/DirichletSeries.hpp"

$\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}$

数論的関数の累積和 $\sum_{i=1}^N f(i)$ を高速に求めるためのライブラリです。ディリクレ積で表現できる数論的関数 $f(n) = (g*h)(n) = \sum_{d|n} g(d)h(n/d)$ の累積和を、 $g, h$ の累積和が高速に求まる場合に高速に計算できます。

`DirichletSeries<T>` クラス

ある数論的関数 $f$ について、 $F(k) = \sum_{n=1}^k f(n)$ の値を $\lfloor N/m \rfloor$ の形で表せる全ての $k$ について保持するデータ構造です。

内部では、$f(n)$ の値を $n \le K$ まで、また $F(k)$ の値を $k \le K$ と $k=\lfloor N/m \rfloor$ ($m \le L$) について保持します。ここで、$K, L$ は $KL \ge N$ を満たすパラメータで、デフォルトでは $K \approx N^{2/3}, L \approx N^{1/3}$ となるように設定されます。これにより、多くの操作が $O(N^{2/3})$ 程度の計算量で実現されます。

ディリクレ級数の単位元 $\varepsilon(n)$ は以下のように定義されます。 $\displaystyle \varepsilon(n) \equiv \lbrack n=1 \rbrack \equiv \begin{cases} 1 & (n=1)
0 & (n > 1) \end{cases}$

メンバ変数

メンバ変数	概要
`N`	累積和を計算する上限 $N$ です。
`K`, `L`	内部で利用するテーブルサイズです。$KL \ge N$ を満たします。
`x`	$f(1), \dots, f(K)$ の値を保持する配列です。
`X`	$F(1), \dots, F(K)$ および $F(\lfloor N/1 \rfloor), \dots, F(\lfloor N/L \rfloor)$ の値を保持する配列です。

演算子オーバーロード

$f, g$ に対応する DirichletSeries オブジェクトから $h$ に対応するオブジェクトを計算します。

演算子	概要	計算量
`-f`	$h(n)=-f(n)$	$O(K+L)$
`f+g`	$h(n)=f(n)+g(n)$	$O(K+L)$
`f+a`	$h(n)=f(n)+a\cdot\varepsilon(n)$	$O(1)$
`f-g`	$h(n)=f(n)-g(n)$	$O(K+L)$
`f-a`	$h(n)=f(n)-a\cdot\varepsilon(n)$	$O(1)$
`f*g` (ディリクレ積)	$\displaystyle h(n)=\sum_{d\vert n}f(d)g(n/d)$	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`f*a`	$h(n)= f(n)\cdot a$	$O(K+L)$
`f/g` (ディリクレ逆数)	$\displaystyle f(n) = \sum_{d\vert n}h(d)g(n/d)$ を満たす $h$	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`f/a`	$h(n)=f(n) /a$	$O(K+L)$
`a/f`	$\displaystyle a\cdot \varepsilon(n) = \sum_{d\vert n}h(d)f(n/d)$ を満たす $h$	$O(K\log K+\sqrt{NL})$

メンバ関数

メンバ関数	概要	計算量
`DirichletSeries(N, unit=false)`	コンストラクタ。`unit`が`false`なら零元 ($f(n)=0$)、`true`なら単位元 ( $f(n)=\varepsilon(n)$ ) で初期化します。	$O(K+L)$
`DirichletSeries(N, sum)`	コンストラクタ。累積和を返す関数 `sum` を用いて初期化します。	$O(K+L)$
`sum(k)`	$F(k) = \sum_{n=1}^k f(n)$ を返します。$k$ は $\lfloor N/m \rfloor$ の形で表せる必要があります。	$O(1)$
`sum()`	$\displaystyle F(N)=\sum_{n=1}^N f(n)$ を返します。	$O(1)$
`square()`	$ff$ を計算します。`ff`より高速です。	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`pow(M)`	ディリクレ積の $M$ 乗を計算します。	$O((K\log K+\sqrt{NL})\log M)$

具体的な数論的関数の `DirichletSeries<T>`

一般的な数論的関数に対応する DirichletSeries オブジェクトを生成するヘルパー関数です。

関数	数論的関数 $f(n)$	計算量
`get_1(N)`	$f(n) = 1$ (定数関数)	$O(K+L)$
`get_mu(N)`	$f(n) = \mu(n)$ (メビウス関数)	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`get_Id(N)`	$f(n) = n$ (恒等写像)	$O(K+L)$
`get_Id2(N)`	$f(n) = n^2$	$O(K+L)$
`get_d(N)`	$f(n) = d(n)$ (約数関数)	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`get_sigma(N)`	$f(n) = \sigma(n)$ (約数和関数)	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`get_phi(N)`	$f(n) = \phi(n)$ (オイラーのトーシェント関数)	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`get_1sq(N)`	$f(n) = [n \text{ is a perfect square}]$	$O(K+L)$
`get_lambda(N)`	$f(n) = \lambda(n)$ (リウヴィル関数)	$O(K\log K+\sqrt{NL})$
`get_absmu(N)`	$f(n) = \lvert\mu(n)\rvert$ (平方因子を持たないなら1)	$O(K\log K+\sqrt{NL})$

参考

https://maspypy.com/dirichlet-積と、数論関数の累積和

使用例

Sum of Totient Function (yosupo)
- $\sum_{i=1}^N \phi(i)$ を求めます。
Sum of Divisors (yosupo)
- $\sum_{i=1}^N \sigma(i)$ を求めます。
Xmas Contest 2019 D - Sum of (-1)^f(n)
- リウヴィル関数の累積和を求めます。

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Code

#pragma once
#include <valarray>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cassert>
#include <numeric>
#include <cstdint>
template <class T> struct DirichletSeries {
 using Self= DirichletSeries;
 uint64_t N;  // <= K * L
 size_t K, L;
 std::valarray<T> x, X;
 DirichletSeries(uint64_t N, bool unit= false): N(N), K(N > 1 ? std::max(std::ceil(std::pow((double)N / std::log2(N), 2. / 3)), std::sqrt(N) + 1) : 1), L((N - 1 + K) / K), x(K + 1), X(K + L + 1) {
  if (assert(N > 0); unit) x[1]= 1, X= 1;
 }
 template <class F, typename= std::enable_if_t<std::is_invocable_r_v<T, F, uint64_t>>> DirichletSeries(uint64_t N, const F &sum): DirichletSeries(N) {
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) X[i]= sum(i);
  for (size_t i= 1; i <= L; ++i) X[K + i]= sum(uint64_t((double)N / i));
  for (size_t i= K; i; --i) x[i]= X[i] - X[i - 1];
 }
 Self operator-() const {
  Self ret(N);
  return ret.x= -x, ret.X= -X, ret;
 }
 Self &operator+=(T r) { return x[1]+= r, X+= r, *this; }
 Self &operator-=(T r) { return x[1]-= r, X-= r, *this; }
 Self &operator*=(T r) { return x*= r, X*= r, *this; }
 Self &operator/=(T r) {
  if (T iv= T(1) / r; iv == 0) x/= r, X/= r;
  else x*= iv, X*= iv;
  return *this;
 }
 Self &operator+=(const Self &r) { return assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L), x+= r.x, X+= r.X, *this; }
 Self &operator-=(const Self &r) { return assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L), x-= r.x, X-= r.X, *this; }
 Self operator+(T r) const { return Self(*this)+= r; }
 Self operator-(T r) const { return Self(*this)-= r; }
 Self operator*(T r) const { return Self(*this)*= r; }
 Self operator/(T r) const { return Self(*this)/= r; }
 Self operator+(const Self &r) const { return Self(*this)+= r; }
 Self operator-(const Self &r) const { return Self(*this)-= r; }
 friend Self operator+(T l, Self r) { return r+= l; }
 friend Self operator-(T l, Self r) { return r.x[1]-= l, r.X-= l, r.x= -r.x, r.X= -r.X, r; }
 friend Self operator*(T l, const Self &r) { return r * l; }
 friend Self operator/(T l, const Self &r) { return (Self(r.N, true)/= r)*= l; }
 Self operator*(const Self &r) const {
  assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L);
  Self ret(N);
  uint64_t n;
  for (size_t i= K, j; i; --i)
   for (j= K / i; j; --j) ret.x[i * j]+= x[i] * r.x[j];
  for (size_t l= L, m, i; l; ret.X[K + l--]-= sum(m) * r.sum(m))
   for (i= m= std::sqrt(n= (double)N / l); i; --i) ret.X[K + l]+= x[i] * r.sum((double)n / i) + r.x[i] * sum((double)n / i);
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
  return ret;
 }
 Self operator/(const Self &r) const { return Self(*this)/= r; }
 Self &operator*=(const Self &r) { return *this= *this * r; }
 Self &operator/=(const Self &r) {
  assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L);
  for (size_t i= 1, j, ed; i <= K; i++)
   for (x[i]/= r.x[1], j= 2, ed= K / i; j <= ed; j++) x[i * j]-= x[i] * r.x[j];
  X[1]= x[1];
  for (size_t i= 2; i <= K; ++i) X[i]= X[i - 1] + x[i];
  uint64_t n;
  for (size_t l= L, m; l; X[K + l--]/= r.x[1])
   for (m= std::sqrt(n= (double)N / l), X[K + l]+= r.sum(m) * sum(m) - x[1] * r.sum(n); m > 1;) X[K + l]-= r.x[m] * sum((double)n / m) + x[m] * r.sum((double)n / m), --m;
  return *this;
 }
 Self square() const {
  Self ret(N);
  size_t i, j, l= std::sqrt(K);
  uint64_t n;
  T tmp;
  for (i= l; i; --i)
   for (j= K / i; j > i; --j) ret.x[i * j]+= x[i] * x[j];
  ret.x+= ret.x;
  for (i= l; i; --i) ret.x[i * i]+= x[i] * x[i];
  for (l= L; l; ret.X[K + l]+= ret.X[K + l], ret.X[K + l--]-= tmp * tmp)
   for (tmp= sum(i= std::sqrt(n= (double)N / l)); i; --i) ret.X[K + l]+= x[i] * sum((double)n / i);
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
  return ret;
 }
 Self pow(uint64_t M) const {
  if (N / M > M)
   for (auto ret= Self(N, true), b= *this;; b= b.square()) {
    if (M & 1) ret*= b;
    if (!(M>>= 1)) return ret;
   }
  size_t n= 0, m, i, l, p= 2;
  uint64_t e, j;
  while (n <= M && (1ULL << n) <= N) ++n;
  T pw[65]= {1}, b= x[1], tmp;
  for (e= M - n + 1;; b*= b)
   if (e & 1 ? pw[0]*= b : T(); !(e>>= 1)) break;
  for (m= 1; m < n; ++m) pw[m]= pw[m - 1] * x[1];
  Self ret(*this);
  std::valarray<T> D= (ret.X-= x[1]), E(std::begin(D), K + 1), Y(std::begin(D) + K, L + 1), y= x, z(K + 1), Z(L + 1);
  auto A= [&](uint64_t n) { return n > K ? D[K + (double)N / n] : D[n]; };
  auto B= [&](uint64_t n) { return n > K ? Y[(double)N / n] : E[n]; };
  for (tmp= pw[n - 2] * M, l= L; l; l--) ret.X[K + l]*= tmp;
  for (i= 2; i <= K; ++i) ret.x[i]*= tmp;
  for (ret.x[1]= pw[n - 1], l= L; l; l--) ret.X[K + l]+= ret.x[1];
  for (m= 1, b= M, l= std::min<uint64_t>(L, uint64_t((double)N / p) / 2); m + 1 < n;) {
   for (b*= M - m, b/= ++m, tmp= b * pw[n - 1 - m]; l; ret.X[K + l--]+= Z[l] * tmp) {
    for (i= j= std::sqrt(e= (double)N / l); i >= p; --i) Z[l]+= y[i] * A((double)e / i);
    for (i= std::min(j, e / p); i >= 2; --i) Z[l]+= x[i] * B((double)e / i);
    if (j >= p) Z[l]-= A(j) * B(j);
   }
   for (i= K; i >= p; --i)
    for (l= K / i; l >= 2; l--) z[i * l]+= y[i] * x[l];
   for (i= p= 1 << m; i <= K; ++i) ret.x[i]+= z[i] * tmp;
   if (m + 1 == n) break;
   if (l= std::min<uint64_t>(L, uint64_t((double)N / p) / 2), y.swap(z), Y.swap(Z), std::fill_n(std::begin(Z) + 1, l, 0); p * 2 <= K) std::fill(std::begin(z) + p * 2, std::end(z), 0);
   if (p <= K)
    for (E[p]= y[p], i= p + 1; i <= K; ++i) E[i]= E[i - 1] + y[i];
  }
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
  return ret;
 }
 inline T sum() const { return X[K + 1]; }
 inline T sum(uint64_t n) const { return n > K ? X[K + (double)N / n] : X[n]; }
 inline T operator()(uint64_t n) const { return n > K ? x[K + (double)N / n] : x[n]; }
};
// 1, zeta(s), O(K+L)
template <class T> DirichletSeries<T> get_1(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 for (size_t i= ret.L; i; --i) ret.X[ret.K + i]= uint64_t((double)N / i);
 return std::fill(std::begin(ret.x) + 1, std::end(ret.x), T(1)), std::iota(std::begin(ret.X), std::begin(ret.X) + ret.K + 1, 0), ret;
}
// Mobius, 1/zeta(s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_mu(uint64_t N) { return DirichletSeries<T>(N, true)/= get_1<T>(N); }
// n, zeta(s-1)
template <class T> DirichletSeries<T> get_Id(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 __uint128_t a;
 for (size_t l= ret.L; l; --l) a= (double)N / l, ret.X[ret.K + l]= (a * (a + 1)) >> 1;
 std::iota(std::begin(ret.x), std::end(ret.x), 0);
 for (size_t i= 1; i <= ret.K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
 return ret;
}
// n^2, zeta(s-2), O(K+L)
template <class T> DirichletSeries<T> get_Id2(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 __uint128_t a, b, c;
 for (size_t l= ret.L; l; --l) a= (double)N / l, b= (a * (a + 1)) >> 1, c= (a + a + 1), ret.X[ret.K + l]= c % 3 == 0 ? T(c / 3) * b : T(b / 3) * c;
 for (uint64_t i= ret.K; i; --i) ret.x[i]= i * i;
 for (size_t i= 1; i <= ret.K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
 return ret;
}
// number-of-divisors, zeta(s)zeta(s-1), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_d(uint64_t N) { return get_1<T>(N).square(); }
// sum-of-divisors, zeta(s)zeta(s-2), function, O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_sigma(uint64_t N) { return get_1<T>(N) * get_Id<T>(N); }
// Euler's totient, zeta(s-1)/zeta(s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_phi(uint64_t N) { return get_Id<T>(N)/= get_1<T>(N); }
template <class T>  // zeta(2s), O(K+L)
DirichletSeries<T> get_1sq(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 for (size_t i= 1, e= ret.x.size(); i * i <= e; ++i) ret.x[i * i]= 1;
 for (size_t i= 1; i <= ret.K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
 for (size_t l= ret.L; l; --l) ret.X[ret.K + l]= uint64_t(std::sqrt((double)N / l));
 return ret;
}
// Liouville, zeta(2s)/zeta(s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_lambda(uint64_t N) { return get_1sq<T>(N)/= get_1<T>(N); }
// square-free, zeta(s)/zeta(2s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_absmu(uint64_t N) { return get_1<T>(N)/= get_1sq<T>(N); }

#line 2 "src/NumberTheory/DirichletSeries.hpp"
#include <valarray>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cassert>
#include <numeric>
#include <cstdint>
template <class T> struct DirichletSeries {
 using Self= DirichletSeries;
 uint64_t N;  // <= K * L
 size_t K, L;
 std::valarray<T> x, X;
 DirichletSeries(uint64_t N, bool unit= false): N(N), K(N > 1 ? std::max(std::ceil(std::pow((double)N / std::log2(N), 2. / 3)), std::sqrt(N) + 1) : 1), L((N - 1 + K) / K), x(K + 1), X(K + L + 1) {
  if (assert(N > 0); unit) x[1]= 1, X= 1;
 }
 template <class F, typename= std::enable_if_t<std::is_invocable_r_v<T, F, uint64_t>>> DirichletSeries(uint64_t N, const F &sum): DirichletSeries(N) {
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) X[i]= sum(i);
  for (size_t i= 1; i <= L; ++i) X[K + i]= sum(uint64_t((double)N / i));
  for (size_t i= K; i; --i) x[i]= X[i] - X[i - 1];
 }
 Self operator-() const {
  Self ret(N);
  return ret.x= -x, ret.X= -X, ret;
 }
 Self &operator+=(T r) { return x[1]+= r, X+= r, *this; }
 Self &operator-=(T r) { return x[1]-= r, X-= r, *this; }
 Self &operator*=(T r) { return x*= r, X*= r, *this; }
 Self &operator/=(T r) {
  if (T iv= T(1) / r; iv == 0) x/= r, X/= r;
  else x*= iv, X*= iv;
  return *this;
 }
 Self &operator+=(const Self &r) { return assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L), x+= r.x, X+= r.X, *this; }
 Self &operator-=(const Self &r) { return assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L), x-= r.x, X-= r.X, *this; }
 Self operator+(T r) const { return Self(*this)+= r; }
 Self operator-(T r) const { return Self(*this)-= r; }
 Self operator*(T r) const { return Self(*this)*= r; }
 Self operator/(T r) const { return Self(*this)/= r; }
 Self operator+(const Self &r) const { return Self(*this)+= r; }
 Self operator-(const Self &r) const { return Self(*this)-= r; }
 friend Self operator+(T l, Self r) { return r+= l; }
 friend Self operator-(T l, Self r) { return r.x[1]-= l, r.X-= l, r.x= -r.x, r.X= -r.X, r; }
 friend Self operator*(T l, const Self &r) { return r * l; }
 friend Self operator/(T l, const Self &r) { return (Self(r.N, true)/= r)*= l; }
 Self operator*(const Self &r) const {
  assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L);
  Self ret(N);
  uint64_t n;
  for (size_t i= K, j; i; --i)
   for (j= K / i; j; --j) ret.x[i * j]+= x[i] * r.x[j];
  for (size_t l= L, m, i; l; ret.X[K + l--]-= sum(m) * r.sum(m))
   for (i= m= std::sqrt(n= (double)N / l); i; --i) ret.X[K + l]+= x[i] * r.sum((double)n / i) + r.x[i] * sum((double)n / i);
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
  return ret;
 }
 Self operator/(const Self &r) const { return Self(*this)/= r; }
 Self &operator*=(const Self &r) { return *this= *this * r; }
 Self &operator/=(const Self &r) {
  assert(N == r.N), assert(K == r.K), assert(L == r.L);
  for (size_t i= 1, j, ed; i <= K; i++)
   for (x[i]/= r.x[1], j= 2, ed= K / i; j <= ed; j++) x[i * j]-= x[i] * r.x[j];
  X[1]= x[1];
  for (size_t i= 2; i <= K; ++i) X[i]= X[i - 1] + x[i];
  uint64_t n;
  for (size_t l= L, m; l; X[K + l--]/= r.x[1])
   for (m= std::sqrt(n= (double)N / l), X[K + l]+= r.sum(m) * sum(m) - x[1] * r.sum(n); m > 1;) X[K + l]-= r.x[m] * sum((double)n / m) + x[m] * r.sum((double)n / m), --m;
  return *this;
 }
 Self square() const {
  Self ret(N);
  size_t i, j, l= std::sqrt(K);
  uint64_t n;
  T tmp;
  for (i= l; i; --i)
   for (j= K / i; j > i; --j) ret.x[i * j]+= x[i] * x[j];
  ret.x+= ret.x;
  for (i= l; i; --i) ret.x[i * i]+= x[i] * x[i];
  for (l= L; l; ret.X[K + l]+= ret.X[K + l], ret.X[K + l--]-= tmp * tmp)
   for (tmp= sum(i= std::sqrt(n= (double)N / l)); i; --i) ret.X[K + l]+= x[i] * sum((double)n / i);
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
  return ret;
 }
 Self pow(uint64_t M) const {
  if (N / M > M)
   for (auto ret= Self(N, true), b= *this;; b= b.square()) {
    if (M & 1) ret*= b;
    if (!(M>>= 1)) return ret;
   }
  size_t n= 0, m, i, l, p= 2;
  uint64_t e, j;
  while (n <= M && (1ULL << n) <= N) ++n;
  T pw[65]= {1}, b= x[1], tmp;
  for (e= M - n + 1;; b*= b)
   if (e & 1 ? pw[0]*= b : T(); !(e>>= 1)) break;
  for (m= 1; m < n; ++m) pw[m]= pw[m - 1] * x[1];
  Self ret(*this);
  std::valarray<T> D= (ret.X-= x[1]), E(std::begin(D), K + 1), Y(std::begin(D) + K, L + 1), y= x, z(K + 1), Z(L + 1);
  auto A= [&](uint64_t n) { return n > K ? D[K + (double)N / n] : D[n]; };
  auto B= [&](uint64_t n) { return n > K ? Y[(double)N / n] : E[n]; };
  for (tmp= pw[n - 2] * M, l= L; l; l--) ret.X[K + l]*= tmp;
  for (i= 2; i <= K; ++i) ret.x[i]*= tmp;
  for (ret.x[1]= pw[n - 1], l= L; l; l--) ret.X[K + l]+= ret.x[1];
  for (m= 1, b= M, l= std::min<uint64_t>(L, uint64_t((double)N / p) / 2); m + 1 < n;) {
   for (b*= M - m, b/= ++m, tmp= b * pw[n - 1 - m]; l; ret.X[K + l--]+= Z[l] * tmp) {
    for (i= j= std::sqrt(e= (double)N / l); i >= p; --i) Z[l]+= y[i] * A((double)e / i);
    for (i= std::min(j, e / p); i >= 2; --i) Z[l]+= x[i] * B((double)e / i);
    if (j >= p) Z[l]-= A(j) * B(j);
   }
   for (i= K; i >= p; --i)
    for (l= K / i; l >= 2; l--) z[i * l]+= y[i] * x[l];
   for (i= p= 1 << m; i <= K; ++i) ret.x[i]+= z[i] * tmp;
   if (m + 1 == n) break;
   if (l= std::min<uint64_t>(L, uint64_t((double)N / p) / 2), y.swap(z), Y.swap(Z), std::fill_n(std::begin(Z) + 1, l, 0); p * 2 <= K) std::fill(std::begin(z) + p * 2, std::end(z), 0);
   if (p <= K)
    for (E[p]= y[p], i= p + 1; i <= K; ++i) E[i]= E[i - 1] + y[i];
  }
  for (size_t i= 1; i <= K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
  return ret;
 }
 inline T sum() const { return X[K + 1]; }
 inline T sum(uint64_t n) const { return n > K ? X[K + (double)N / n] : X[n]; }
 inline T operator()(uint64_t n) const { return n > K ? x[K + (double)N / n] : x[n]; }
};
// 1, zeta(s), O(K+L)
template <class T> DirichletSeries<T> get_1(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 for (size_t i= ret.L; i; --i) ret.X[ret.K + i]= uint64_t((double)N / i);
 return std::fill(std::begin(ret.x) + 1, std::end(ret.x), T(1)), std::iota(std::begin(ret.X), std::begin(ret.X) + ret.K + 1, 0), ret;
}
// Mobius, 1/zeta(s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_mu(uint64_t N) { return DirichletSeries<T>(N, true)/= get_1<T>(N); }
// n, zeta(s-1)
template <class T> DirichletSeries<T> get_Id(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 __uint128_t a;
 for (size_t l= ret.L; l; --l) a= (double)N / l, ret.X[ret.K + l]= (a * (a + 1)) >> 1;
 std::iota(std::begin(ret.x), std::end(ret.x), 0);
 for (size_t i= 1; i <= ret.K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
 return ret;
}
// n^2, zeta(s-2), O(K+L)
template <class T> DirichletSeries<T> get_Id2(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 __uint128_t a, b, c;
 for (size_t l= ret.L; l; --l) a= (double)N / l, b= (a * (a + 1)) >> 1, c= (a + a + 1), ret.X[ret.K + l]= c % 3 == 0 ? T(c / 3) * b : T(b / 3) * c;
 for (uint64_t i= ret.K; i; --i) ret.x[i]= i * i;
 for (size_t i= 1; i <= ret.K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
 return ret;
}
// number-of-divisors, zeta(s)zeta(s-1), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_d(uint64_t N) { return get_1<T>(N).square(); }
// sum-of-divisors, zeta(s)zeta(s-2), function, O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_sigma(uint64_t N) { return get_1<T>(N) * get_Id<T>(N); }
// Euler's totient, zeta(s-1)/zeta(s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_phi(uint64_t N) { return get_Id<T>(N)/= get_1<T>(N); }
template <class T>  // zeta(2s), O(K+L)
DirichletSeries<T> get_1sq(uint64_t N) {
 DirichletSeries<T> ret(N);
 for (size_t i= 1, e= ret.x.size(); i * i <= e; ++i) ret.x[i * i]= 1;
 for (size_t i= 1; i <= ret.K; ++i) ret.X[i]= ret.X[i - 1] + ret.x[i];
 for (size_t l= ret.L; l; --l) ret.X[ret.K + l]= uint64_t(std::sqrt((double)N / l));
 return ret;
}
// Liouville, zeta(2s)/zeta(s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_lambda(uint64_t N) { return get_1sq<T>(N)/= get_1<T>(N); }
// square-free, zeta(s)/zeta(2s), O(N^(2/3)log^(1/3)N))
template <class T> DirichletSeries<T> get_absmu(uint64_t N) { return get_1<T>(N)/= get_1sq<T>(N); }